Formelsammlung

Allgemein
geometrische Reihe für Teilsummen	$s_{n} = \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ $s_n = sum_(k=0)^n q^k = (1-q^(n+1)) / (1-q)$ , falls $q \neq 1$ $q ne 1$ Bsp.: $1 + U + U^{2} + U^{3} + U^{4} = \frac{1 - U^{5}}{1 - U}$ $1+U+U^2+U^3+U^4 = (1-U^5)/(1 - U)$
geometrische Reihe für Grenzwert	$\sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}$ $sum_(k=0)^oo q^k = 1/(1-q)$ , konvergiert falls $\| q \| < 1$ $\|q\|<1$ , sonst divergiert sie Bsp.: $π_{i} = π_{0} \cdot (1 + (\frac{λ}{μ}) + {(\frac{λ}{μ})}^{2} + {(\frac{λ}{μ})}^{3} + ...) = π_{0} \cdot \frac{1}{1 - \frac{λ}{μ}}$ $pi_i=pi_0 * (1+(lambda/mu)+(lambda/mu)^2+(lambda/mu)^3+...)=pi_0 * 1/(1-lambda/mu)$
Summenformel	$\sum_{i = 0}^{k} i = N \cdot \frac{N + 1}{2}$ $sum_(i=0)^k i=N*(N+1)/2$
Wahrscheinlichkeit für eine Zustandsfolge	${\vec{p}}_{n} = (P (X_{n} = 0), P (X_{n} = 1), P (X_{n} = 2), ...) = {\vec{p}}_{n} = {\vec{p}}_{n - 1} \cdot P = {\vec{p}}_{0} \cdot P^{n}$ $vec p_n=(P(X_n=0), P(X_n=1), P(X_n=2), ...)=vec p_n=vec p_(n-1) * P=vec p_0*P^n$
	$P (A, B) = P (B, A) = P (A ∣ B) = \frac{P (A \cup B)}{P (B)}$ $P(A,B)=P(B,A)=P(A \| B)=(P(A uu B))/(P(B))$
	$P (A \cap B) = P (B \cap A) \cdot P (B)$ $P(A nn B)=P(B nn A) * P(B)$
	$P (x_{2} = ? ∣ x_{1} = ?, x_{0} = ?) = P (x_{2} = ? ∣ x_{1} = ?)$ $P(x_2 = ? \| x_1=?, x_0=?)=P(x_2=?\|x_1=?)$
	$P (x_{2} = ?, x_{1} = ? ∣ x_{0} = ?) =$ $P(x_2=?,x_1=?\|x_0=?)=$ P(x_2 = ? \| x_1=?, x_0=?) * $P (x_{1} = ?, x_{0} = ?)$ $P(x_1=?, x_0=?)$

Kapitel 1 - Markovketten mit diskreter Zeit

		Quelle
Gleichgewicht	$π_{j} = \sum_{i = 0}^{\infty} π_{i} \cdot p_{i j}$ $pi_j=sum_(i=0)^oo pi_i * p_(ij)$ $\vec{π} = \vec{π} \cdot P$ $vec pi=vec pi * P$ ${\vec{p}}_{n} = {\vec{p}}_{0} \cdot P^{n}$ $vec p_n=vec p_0 * P^n$	1.2.7
Irreduzibilität	Eine HMK heißt irreduzibel, wenn jeder Zustand von jedem anderen aus mit positiver Wahrscheinlichkeit in endlich vielen Schritten erreicht werden kann, andernfalls heißt sie reduzibel.	1.2.2
Aperiodizität	Gibt es $d \geq 2$ $d ge 2$ disjunkte, nicht leere Teilmengen der Zustandsmenge Z, die immer in derselben Reihenfolge in d Schritten durchlaufen werden, dann heißt die HMK periodisch mit Periode d. Gibt es keine solchen Teilmengen, dann heißt die HMK aperiodisch. Ein Zustand einer HMK heißt absorbierend, wenn er nicht mehr (mit positiver Wahrscheinlichkeit) verlassen werden kann.	1.2.4
Rekurrenzzeit, Zeitschritte bis ich wieder in i bin	$R_{i} = \frac{1}{π_{i}}$ $R_i=1/pi_i$	1.6.3
Verweilzeit, mittlere Aufenthaltsdauer im Zustand i	$T_{i} = \frac{1}{1 - p_{i i}} = \frac{1}{\sum_{i \neq j} p_{i j}} = \sum_{n = 1}^{\infty} n \cdot (1 - p_{i i}) \cdot p_{i i}^{n - 1} = \frac{1}{1 - p_{i i}}$ $T_i=1/(1-p_(ii))=1/(sum_(i ne j) p_(ij))=sum_(n=1)^oo n(1-p_(ii))p_(ii)^(n-1)=1/(1-p_(ii))$	1.4.1
Mittlere Aufenthalsdauer in der Menge M	$T_{M, i} = 1 + \sum_{k \in M} p_{i k} \cdot T_{M, k}$ $T_(M,i)=1 + sum_(k in M) p_(ik) * T_(M,k)$ , für $i \in M$ $i in M$ $(E - P_{M}) \cdot {\vec{T}}_{M} = (\begin{matrix} 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})$ $(E-P_(M)) * vec T_M=((1),(vdots),(1))$	1.4.3
Mittlere Absorptionszeit	$(E - P_{n a}) \cdot \vec{A} = (\begin{matrix} 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})$ $(E-P_(na)) * vec A=((1),(vdots),(1))$	1.4.3
Mittlere Absorptionszeit bei Start in i	$A_{i} = \sum_{k = 1}^{m} v_{i, k}$ $A_i=sum_(k=1)^m v_(i,k)$	1.5.3
Besuchshäufigkeiten, Visit Counts mittlere Anzahl der Besuche im Zustand j bis zur Absorption bei Start in i	${\vec{v}}_{i} \cdot (E - P_{n a}) = {\vec{e}}_{i}$ $vec v_i * (E-P_(na))=vec e_i$ $V \cdot (E - P_{n a}) = E \Rightarrow V = {(E - P_{n a})}^{- 1}$ $V*(E-P_(na))=E => V=(E-P_(na))^(-1)$	1.5.4
Wahrscheinlichkeit, dass bei Start in i, Absorption in j stattfindet	${\vec{a}}_{i} = {\vec{v}}_{i} \cdot P_{a}$ $vec a_i=vec v_i * P_(a)$	1.5.6
Rekurrenzzeiten Dauer zwischen aufeinanderfolgenden Besuchen	$R_{i} = \frac{1}{π_{i}} = 1 + \sum_{k \neq i} p_{i k} \cdot T_{M, k}$ $R_i=1/pi_i=1+sum_(k ne i) p_(ik) * T_(M,k)$ $R_{i} = 1 + p_{i j} \cdot T_{M, j}$ $R_i = 1+ p_(ij) * T_(M,j)$ , falls $j \in Z; j \neq i; p_{i i} + p_{i j} = 1$ $j in Z; j ne i; p_(ii)+p_(ij)=1$	1.6.3
Distanz	$D_{i, N} = A_{i}$ $D_(i,N)=A_i$	1.5.10

Bestellpolitik
h	Lagerkosten pro Menge und Zeit
Q	Bestellmenge
K	fixe Bestellkosten
c	mengenprop. Bestellkosten
b	Anzahl bestellter Einheiten
S	Lagerkapazität
s	Bestellpunkt
$v_{i}$ $v_i$	Wahrscheinlichkeit, dass i verbraucht wird
r	$Bestellrate = \frac{Einheit}{Zeit} = Verbrauch$ $"Bestellrate"="Einheit"/"Zeit"="Verbrauch"$
Fall i) Zustandsraum bei Vormerkung	${..., - 2, - 1, 0, 1, 2, ..., S}$ ${..., -2, -1,0,1,2,...,S}$
Fall ii) Zustandsraum ohne Vormerkung	${0, 1, 2, ..., S}$ ${0,1,2,...,S}$
Mittlerer Lagerbestand	$\frac{Q}{2}$ $Q/2$
aktueller Lagerbestand	$L (t) = Q - r \cdot t$ $L(t) = Q-r * t$ $L (t_{0}) = 0$ $L(t_0)=0$ $t_{0} = \frac{Q}{r}$ $t_0=Q/r$
Durchschnittskosten pro Zeit	$D (Q) = \frac{Q}{2} \cdot h + K \frac{r}{Q}$ $D(Q)=Q/2 * h + Kr/Q$
Lagergrößenformel für min. Kosten	$Q_{o p t} = \sqrt[]{\frac{2 \cdot r \cdot K}{h}}$ $Q_(opt)=root ()((2 * r * K) / h)$
Mittlerer Lagerbestand	$\bar{L} = \sum_{i = 0}^{S} π_{i} \cdot i$ $bar L = sum_(i=0)^S pi_i * i$
zu bestellende Einheiten	$b_{n} = 0$ $b_n=0$ , für $X_{n} \geq s$ $X_n ge s$ $b_{n} = S - X_{n}$ $b_n=S-X_n$ , für $X_{n} < s$ $X_n < s$
Mittlere Kosten pro Periode	$G = \sum_{k = 0}^{c} π_{k} \cdot R (k)$ $G=sum_(k=0)^c pi_k * R(k)$
Kosten für eine Bestellung der Höhe b	$B (b) = 0$ $B(b)=0$ , für $b = 0$ $b=0$ $B (b) = K + c \cdot b$ $B(b)=K+c * b$ , für $b > 0$ $b > 0$
Lager-/Fehlmengenkosten	$K (x) = h \cdot x$ $K(x)=h * x$ , für $x \geq 0$ $x ge 0$ "Lagerkosten" $K (x) = - f \cdot x$ $K(x)=-f * x$ , für $x < 0$ $x < 0$ "Fehlmengenkosten" $(h, f \geq 0)$ $(h, f ge 0)$
Gesamtkosten einer Periode (i = Endbestand)	$R_{i} = \sum_{k = 0}^{i} h \cdot (i - k) \cdot v_{k} + \sum_{k \geq i + 1} f \cdot (k - i) \cdot v_{k}$ $R_i=sum_(k=0)^i h * (i - k) * v_k + sum_(k ge i +1) f * (k-i) * v_k$ , für $i \geq s$ $i ge s$ $R_{i} = K + c \cdot (S - i) + \sum_{k = 0}^{S} h \cdot (S - k) \cdot v_{k} + \sum_{k \geq S + 1} f \cdot (k - S) \cdot v_{k}$ $R_i=K+c * (S - i) + sum_(k=0)^S h* (S-k) * v_k + sum_(k ge S+1) f * (k-S) * v_k$ , für $i < s$ $i < s$
Zeit bis Lager leer ist	$\Rightarrow$ $=>$ Zustand Lagerbestand 0 modifizieren, so dass er absorbierend ist, dann Absorptionszeit berechnen

Prozessoren und Speicher		Quelle
Verfügbarkeit bei Prozessoren/Speichern	$V = π_{keiner ausgefallen} = π_{0}$ $V=pi_"keiner ausgefallen"=pi_0$	-
Stretching Faktor	$S_{A} = \frac{T_{A}^{r e a l}}{T_{A}} = \frac{n}{m} = \frac{n}{n - n (π_{Warte-Zustand 1} + π_{Warte-Zustand 2} + ...)}$ $S_A=T_A^(real)/T_A=n/m=n/(n-n(pi_("Warte-Zustand 1")+pi_("Warte-Zustand 2")+...))$	1.3.1
Leistung Bi vs. Mono	$T_{M o n o} = 2 \cdot T_{A} = \frac{2 \cdot T_{A}}{T_{A}^{r e a l}} = \frac{2}{S_{A}}$ $T_(Mono)= 2 * T_A=(2*T_A) / T_A^(real)=2/S_A$	1.3.1
Bandbreite	$E (V_{p}) = m (1 - {(1 - \frac{1}{m})}^{p})$ $E(V_p)=m(1-(1-1/m)^p)$ wobei $m = Speichermodule$ $m="Speichermodule"$ und $p = Prozessoren$ $p="Prozessoren"$
	$\frac{T_{B i}}{T_{M o n o}} = \frac{T^{}}{2 T} = \frac{S}{2}$ $T_(Bi)/T_(Mono)=T^*/(2T)=S/2$	1.3.2

Google Ranking		Quelle
1. Google Matrix	$H = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix}]; p_{i j} = \frac{1}{no of links from i}$ $H=[[0, 0, 0, 0],[1/2, 0, 0, 1/2],[1/3, 1/3, 1/3, 0],[1/4, 1/4,1/4,1/4]]; p_(ij)= 1/"no of links from i"$	1.3.3
2. random surfer	$S = H + \frac{1}{n} \cdot {\vec{e}}^{T} \cdot {\vec{a}}^{T}; \vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}); \vec{e} = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)$ $S=H+1/n * vec e^T * vec a^T; vec a=((1),(vdots),(1)); vec e=(0, ...,0,1,0,...,0)$	1.3.3
3. falls nicht aperiodisch oder irreduzibel	$G = α \cdot S + (1 - α) \cdot \frac{1}{n} \cdot [\begin{matrix} 1 & ... & 1 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ... & 1 \end{matrix}]$ $G=alpha * S + (1-alpha) * 1/n * [[1,...,1],[vdots,ddots,vdots],[1,...,1]]$	1.3.3

Erzeuger/Verbraucher		Quelle
Wahrscheinlichkeit Zustand i	$π_{i} = \frac{{(\frac{p}{q})}^{i} \cdot (1 - \frac{p}{q})}{1 - {(\frac{p}{q})}^{N + 1}}$ $pi_i=((p/q)^i * (1 - p/q))/(1-(p/q)^(N+1))$ , falls $p \neq q$ $p ne q$	1.3.5
Overflow/Überlauf	$p (overflow) = π_{0} \cdot q = \frac{q - p}{1 - {(\frac{p}{q})}^{N + 1}}$ $p("overflow")=pi_0*q=(q-p)/(1-(p/q)^(N+1))$	1.3.5
Underflow/Unterlauf	$p (underflow) = π_{N} \cdot p$ $p("underflow")=pi_N * p$	1.3.5
mittlere Füllung	$f = \sum_{1 = 0}^{N} i \cdot π_{i}$ $f=sum_(1=0)^N i * pi_i$ oder $f = \frac{\frac{p}{q} (1 - {(\frac{p}{q})}^{N} \cdot (N \cdot (1 - \frac{p}{q}) + 1))}{(q - {(\frac{p}{q})}^{N + 1}) \cdot (1 - \frac{p}{q})}$ $f=(p/q(1-(p/q)^N * (N * (1-p/q)+1)))/((q-(p/q)^(N+1)) * (1-p/q))$	1.3.5
Mittlere Aufenthaltszeit	$w = \frac{f + 1}{q}$ $w=(f+1)/q$	1.3.5
Wahrscheinlichkeit Zustand i (unendlicher Puffer)	$π_{i} = {(\frac{p}{q})}^{i} \cdot (1 - \frac{p}{q})$ $pi_i=(p/q)^i * (1-p/q)$	1.3.5
Underflow/Unterlauf (unendlicher Puffer)	$p (underflow) = π_{0} \cdot q = q - p$ $p("underflow")=pi_0 * q=q-p$	1.3.5
Mittlere Füllung (unendlicher Puffer)	$f_{\infty} = \frac{p}{q - p}$ $f_oo=p/(q-p)$	1.3.5
Mittlere Aufenthaltszeit (unendlicher Puffer)	$w = \frac{f + 1}{q} = \frac{1}{q - p}$ $w=(f+1)/q=1/(q-p)$	1.3.5
Wahrscheinlichkeit Erzeuger wartet	$π_{E W} = π_{0} \cdot q$ $pi_(EW)=pi_0 * q$	1.3.5
Wahrscheinlichkeit Verbraucher wartet	$π_{V W} = π_{N} \cdot p$ $pi_(VW)=pi_N * p$	1.3.5

Kapitel 2 - Markovketten mit stetiger Zeit

		Quelle
Gleichgewicht (falls irreduzibel, Periodizität egal, da $Δ t$ $Delta t$ beliebig klein werden darf)	$\vec{π} \cdot Λ = \vec{0}$ $vec pi * Lambda = vec 0$ (P) $\sum {\vec{π}}_{i} = 1$ $sum vec pi_i=1$ (N)	2.2.1
Konvergenzsatz $n \to \infty$ $n -> oo$	$lim_{n \to \infty} p_{i} (t) = π_{i}$ $lim_(n->oo) p_i(t)=pi_i$ , falls irreduzibel	2.2.1
Lokales Gleichgewicht	$\sum_{i \in K} \sum_{i \in K} π_{i} \cdot λ_{i j} = \sum_{i \in K} \sum_{i \in K} π_{j} \cdot λ_{j i}$ $sum_(i in K)sum_(i in K) pi_i * lambda_(ij) = sum_(i in K)sum_(i in K) pi_j * lambda_(ji)$	2.2.1
Lokales Gleichg. bei Geburts-Sterbeprozess	$π_{i} \cdot λ_{i, i + 1} = π_{i + 1} \cdot λ_{i + 1, i}$ $pi_i * lambda_(i,i+1)=pi_(i+1)*lambda_(i+1,i)$	?
Mittl. Aufenthaltsdauer/Verweilzeit $T_{i}$ $T_i$ in i	$T_{i} = - \frac{1}{λ_{i i}} = \frac{1}{\sum_{i \neq j}} λ_{i j}$ $T_i=-1/lambda_(ii)=1/sum_(i ne j) lambda_(ij)$
Mittl. Aufenthaltsdauer/Verweilzeit $T_{M}$ $T_M$ in M	$- \sum_{k \in M} λ_{i k} \cdot T_{M, k} = 1; M = Λ_{M}$ $-sum_(k in M) lambda_(ik)T_(M,k)=1; M=Lambda_M$ $- Λ_{M} \cdot {\vec{T}}_{M} = (\begin{matrix} 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})$ $-Lambda_M vec T_M=((1),(vdots),(1))$ $T_{M} = \sum_{k \neq i} q_{i, k} \cdot T_{M, k}$ $T_M=sum_(k ne i)q_(i,k)*T_(M,k)$	2.4.2
Absorptionszeit	$- Λ_{n a} \cdot \vec{A} = (\begin{matrix} 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})$ $-Lambda_(na) * vec A = ((1),(vdots),(1))$ $A_{i} = \sum_{k = 0}^{m} v_{i, k}$ $A_i=sum_(k=0)^m v_(i,k)$	2.5.3
Besuchshäufigkeiten, Visit Counts in i bzw. Besuchszeiten bei HMKS	$- {\vec{v}}_{i} \cdot Λ_{n a} = {\vec{e}}_{i}$ $-vec v_i * Lambda_(na)=vec e_i$ $- V \cdot Λ_{n a} = E \Rightarrow V = Λ_{n a}^{- 1}$ $-V * Lambda_(na) = E => V=Lambda_(na) ^(-1)$	2.5.4
Absorptionswahrscheinlichkeiten	${\vec{a}}_{i} = {\vec{v}}_{i} \cdot Λ_{a}$ $vec a_i = vec v_i * Lambda_a$	2.5.4
Rekurrenzzeiten	$R_{i} = - \frac{1}{λ_{i i} \cdot π_{i}}$ $R_i=-1/(lambda_(ii)pi_i)$ $R_{i} = T_{i} + \sum_{k \neq i} q_{i k} \cdot T_{M, k}$ $R_i=T_i+sum_(k ne i) q_(ik) T_(M,k)$ $q_{i k} = λ_{i} \frac{k}{\sum_{j \neq i} λ_{i j}}$ $q_(ik)=lambda_ik/(sum_(j ne i) lambda_(ij))$ $R_{i} = T_{i} + T_{M}, j$ $R_i=T_i + T_M,j$ , falls $j \in Z; j \neq i; λ_{i i} = - λ_{i j}$ $j in Z;j ne i;lambda_(ii)=-lambda_(ij)$	2.6.2
Distanz (Dauer von Betreten in i bis Betreten in j	$D_{i j} = A_{i}$ $D_(ij)=A_i$	?

Lebensdauer / Verfügbarkeit		Quelle
MTTF(ailure)	$\frac{1}{λ}$ $1/lambda$	-
MTTR(epair)	$\frac{1}{μ}$ $1/mu$	-
Verfügbarkeit	$V = \sum_{i, j > 0} \cdot π_{i, j}$ $V=sum_(i,j>0) * pi_(i,j)$	-
Lebensdauer, MTTDL RAID-1 (Mean Time to Data Loss)	$M T T D L_{R A I D - 1} = \frac{M T T F_{Platte}^{2}}{2 \cdot {MTTR}_{Platte}}$ $M\T\TDL_(RAID-1)=(M\T\TF_("Platte")^2)/(2 * "MTTR"_("Platte"))$	2.5.6
MTTDL RAID-3/4/5	$M T T D L_{R A I D - 3 / 4 / 5} = \frac{M T T F_{Platte}^{2}}{n \cdot (n - 1) \cdot {MTTR}_{Platte}}$ $M\T\TDL_(RAID-3//4//5)=(M\T\TF_("Platte")^2)/(n * (n-1) * "MTTR"_("Platte"))$	2.5.6
MTTDL RAID-5	$M T T D L_{R A I D - 1} = \frac{M T T F_{Platte}^{3}}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot {MTTR}_{Platte}^{2}}$ $M\T\TDL_(RAID-1)=(M\T\TF_("Platte")^3)/(n * (n-1) * (n-2) * "MTTR"_("Platte")^2)$	2.5.6

Kapitel 3 - Wartesysteme

Kendall Notation
A	Verteilung des Ankunftsprozesses
B	Verteilung des Bedienprozesses
s	Anzahl Bedieneinheiten/Server
c	Größe Warteraum
p	Populationsgröße
R	Reihenfolge

Mögliche Verteilungen: M(arkovsch), D(iskret), G(eneral)

M/M/1		Quelle
Verweilzeit	$V = W + S$ $V=W+S$	3.1.1
Satz von Little	$\bar{N} = \bar{V} \cdot λ$ $bar N = bar V * lambda$ ${\bar{N}}_{W} = \bar{W} \cdot λ$ $bar N_W=bar W * lambda$	3.1.3
Ankunftsrate	$λ = \frac{1}{Zwischenankunftsrate} = U \cdot q$ $lambda=1/"Zwischenankunftsrate"=U * q$	3.1.1
Bedienrate	$μ = \frac{1}{\bar{S}}$ $mu=1/bar S$	3.1.1
mittlere Bedienzeit	$\bar{S} = \frac{1}{μ}$ $bar S = 1/mu$	3.1.1
zeitl. Auslastung/Durchsatz, Wahrscheinlichkeit, dass Auftrag warten muss	$U = ρ = \frac{λ}{μ} = λ \cdot \bar{S} = P (muss-warten)$ $U=rho=lambda/mu=lambda * bar S=P("muss-warten")$ $U = X$ $U=X$ , falls $U < 1$ $U < 1$	3.1.2
mittlere Verweilzeit	$\bar{V} = \frac{1}{μ - λ} = \bar{S} \cdot \frac{1}{1 - U}$ $bar V=1/(mu-lambda)=bar S * 1/(1-U)$	3.1.6
mittlere Verweilzeit im Cache	${\bar{V}}_{Cache} = \frac{Anzahl Blöcke}{λ \cdot (1 - Trefferwahrscheinlichkeit)}$ $bar V_"Cache"="Anzahl Blöcke"/(lambda *(1-"Trefferwahrscheinlichkeit"))$	3.1.5
mittlere Wartezeit	$\bar{W} = \frac{λ}{μ} \cdot \frac{1}{μ - λ} = \bar{S} \cdot \frac{U}{1 - U}$ $bar W=lambda/mu 1/(mu-lambda)=bar S U/(1-U)$	3.1.6
mittlere Anzahl im System	$\bar{N} = \frac{U}{1 - U} = \frac{λ}{μ - λ} = λ \cdot \bar{V}$ $bar N=U/(1-U)=lambda/(mu-lambda)=lambda * bar V$	3.1.6
mittlere Anzahl Wartender	${\bar{N}}_{W} = U^{2} \cdot \frac{1}{1 - U} = λ \cdot \bar{W}$ $\bar{N}_W=U^2\cdot\frac{1}{1-U}=\lambda\cdot \bar{W}$	3.1.6
Verteilung Verweilzeit	$F_{V} (x) = P (V \leq x) = 1 - e^{- \frac{x}{\bar{V}}}$ $F_V(x)=P(V\le x)=1-e^{-\frac{x}{\bar{V}}}$ für $x \geq 0 $ $x\ge 0$	3.1.6
p-Quantil	$x_{p} = - \bar{V} \cdot \ln (1 - p)$ $x_p=-\bar{V}\cdot ln(1-p)$ für $0 \leq p < 1$ $0 le p < 1$	3.1.6

M/M/2 (Bedienrate $μ$ $mu$ )		Quelle
mittlere Verweilzeit	$\bar{V} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{4}{4 - a^{2}}$ $bar V=1/mu * 4/(4-a^2)$	Übung 3.1.10
zeitl. Auslastung, Wahrscheinlichkeit Auftrag muss warten	$ρ = \frac{λ}{2 μ} = \frac{a}{2}$ $rho=lambda/(2mu)=a/2$	Übung 3.1.10
mittlere Wartezeit	$\bar{W} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{a^{2}}{4 - a^{2}}$ $bar W=1/mu * a^2/(4-a^2)$	Übung 3.1.10

M/M/s		Quelle
mittlere Verweilzeit	$\bar{V} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{1}{1 - ρ^{k}}$ $\bar{V}=\frac{1}{\mu}\cdot\frac{1}{1-\rho^k}$	3.1.8
zeitl. Auslastung	$ρ = \frac{λ}{μ \cdot k}$ $\rho=\frac{\lambda}{\mu\cdot k}$	3.1.8
mittlere Anzahl im System	$\bar{N} = \frac{k \cdot ρ}{1 - ρ^{k}}$ $bar N = (k*rho)/(1-rho^k)$	3.1.8
mittlere Anzahl Wartender	${\bar{N}}_{W} = \frac{k \cdot ρ^{k + 1}}{1 - ρ^{k}}$ $\bar{N}_W=\frac{k\cdot\rho^{k+1}}{1-\rho^k}$	3.1.8
mittlere Wartezeit	$\bar{W} = \bar{V} - \frac{1}{μ} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{1}{1 - ρ^{k}} - \frac{1}{μ} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{ρ^{k}}{1 - ρ^{k}}$ $bar W = bar V - 1/mu = 1/mu * 1/(1-rho^k) - 1/mu = 1/mu * rho^k/(1-rho^k)$	3.1.8

M/M/s/0		Quelle
Angebot	$a = \frac{λ}{μ}$ $a=lambda/mu$	3.1.10
Verlustwahrscheinlichkeit, "Erlang-B Formel"	$π_{s} = B (s, a) = \frac{\frac{a^{n}}{n!}}{\sum_{i = 0}^{n} \frac{a^{i}}{i!}}$ $pi_s=B(s,a)=(a^n/(n!))/( sum_(i=0)^n a^i/(i!))$ $B (s, a) = \frac{a \cdot B (s - 1, a)}{s + a \cdot B (s - 1, a)}$ $B(s,a)=(a * B(s-1,a))/(s+a * B(s-1,a))$ $B (1, a) = \frac{a}{1 + a}$ $B(1,a)=a/(1+a)$ ${\bar{B}}_{s, a} = a (1 - B (s, a))$ $bar B_(s,a)=a(1-B(s,a))$	3.1.11

M/G/1		Quelle
Variationskoeffizient	$c^{2} = \frac{V a r (S)}{{\bar{S}}^{2}}$ $c^2=(Var(S))/(bar S^2)$	3.1.9
mittlere Bedienzeit	$\bar{S} = \frac{1}{μ}$ $bar S = 1/mu$	-
mittlere Wartezeit	${\bar{W}}_{G} = \frac{λ \cdot (1 + c^{2})}{2 \cdot μ \cdot (μ - λ)} = \bar{S} \cdot \frac{U \cdot (1 + c^{2})}{2 \cdot (1 - U)}$ $bar W_G=(lambda * (1+c^2))/(2 * mu * (mu - lambda))=bar S * (U * (1+c^2))/(2 * (1-U))$	3.1.9
$\bar{S^{2}}$ $bar(S^2)$	$\bar{S^{2}} = V a r (S) + {\bar{S}}^{2} = (1 + c^{2}) \cdot {\bar{S}}^{2}$ $bar(S^2) = Var(S) + bar S^2 = (1 + c^2) * bar S^2$	-
mittlere Verweilzeit	$\bar{V} = \bar{S} + \bar{W} = \bar{S} + \frac{λ \cdot {\bar{S}}^{2} \cdot (1 + c^{2})}{2 \cdot (1 - ρ)} = \bar{S} \cdot (1 + \frac{1 + c^{2}}{2} \cdot \frac{ρ}{1 - ρ})$ $bar V = bar S + bar W = bar S + (lambda * bar S^2 * (1+c^2))/(2 * (1 - rho))=bar S * (1 + (1+c^2)/(2) * (rho)/(1-rho))$	-
mittlere Anzahl Wartender	${\bar{N}}_{W} = λ \cdot \bar{W} = = \frac{λ^{2} \cdot {\bar{S}}^{2}}{2 (1 - ρ)} = \frac{1 + c^{2}}{2} \cdot \frac{ρ^{2}}{1 - ρ}$ $bar N_W=lambda * bar W = = (lambda^2 * bar S^2)/(2(1-rho))=(1+c^2)/2 * rho^2/(1-rho)$	-
mittlere Anzahl im System	$\bar{N} = λ \cdot \bar{V} = λ \cdot \bar{S} + \frac{λ^{2} \cdot {\bar{S}}^{2}}{2 (1 - ρ)} = ρ + \frac{1 + c^{2}}{2} \cdot \frac{ρ^{2}}{1 - ρ}$ $bar N = lambda * bar V = lambda * bar S + (lambda^2 * bar S^2)/(2(1-rho))=rho + (1+c^2)/2 * rho^2/(1-rho)$	-
Varianz	$V a r (S) = \sum_{i = 0}^{Anzahl Systeme} Anteil \cdot {(S_{1} - \bar{S})}^{2}$ $Var(S)=sum_(i=0)^"Anzahl Systeme" "Anteil" * (S_1 - bar S)^2$

Mittelwerte nehmen linear mit der Varianz zu
die Formeln sind ähnlich zu M/M/1, der einzige Unterschied ist der Extra-Faktor $\frac{1 + c^{2}}{2}$ $(1+c^2)/2$

M/D/1	Spezialfall von M/G/1 (c=0)	Quelle
mittlere Wartezeit	${\bar{W}}_{D} = \frac{λ}{2 \cdot μ \cdot (μ - λ)} = \frac{\bar{S} \cdot U}{2 \cdot (1 - U)}$ $bar W_D=lambda/(2 * mu * (mu-lambda))=(bar S * U)/(2 * (1 - U))$	3.1.9

Wartenetze offen		Quelle
Typ 1 für Platten, RAID; allg. E-A Geräte	$M / M / m / \infty / \infty / FCFS$ $M//M//m//oo//oo//"FCFS"$	3.2.2
Typ 2 für CPUs mit Prozessor Sharing	$M / G / 1 / \infty / \infty / PS$ $M//G//1//oo//oo//"PS"$	3.2.2
Typ 3 für infinite Server "IS", Terminals, allg. Wartezustände, Prozesssynchronisation	$M / G / \infty$ $M//G//oo$	3.2.2
Ankunftsrate Knoten i	$λ_{i} = λ_{0, 1} + \sum_{j = 1}^{k} p_{j, i} \cdot λ_{j}$ $lambda_i = lambda_(0,1) + sum_(j=1)^k p_(j,i) * lambda_j$ , für $i = 1, ..., k$ $i=1, ..., k$ $λ_{i} = e_{i} \cdot X$ $lambda_i=e_i * X$	3.2.3
Durchsatz des Gesamtnetzes	$X = \frac{Anzahl bearbeiteter Aufträge}{Z e i t} = \sum_{i = 1}^{K} λ_{0, i}$ $X=("Anzahl bearbeiteter Aufträge")/(Zeit)=sum_(i=1)^K lambda_(0,i)$ , falls $U_{i} < 1$ $U_i < 1$ Summe aller von außen ("0") kommenden Ankunftsraten	3.2.3
Besuchshäufigkeit, mittl. Anzahl Besuche	$e_{i} = \frac{λ_{i}}{X}$ $e_i=lambda_i/X$	3.2.3
mittlere Verweilzeit	$\bar{V} = e_{i} \cdot V_{i} + e_{i + 1} \cdot V_{i + 1} + ... = \sum_{i = 1}^{K} {\bar{V}}_{i} \cdot e_{i}$ $bar V = e_i * V_i + e_(i+1) * V_(i+1) + ... = sum_(i=1)^K bar V_i * e_i$	3.2.3
Auslastung Knoten i	$U_{i} = \frac{λ_{i}}{μ_{i}}$ $U_i = lambda_i/mu_i$ , bei Typ 1 und 3 $U_{i} = \frac{λ_{i}}{m_{i} \cdot μ_{i}}$ $U_i = lambda_i/(m_i * mu_i)$ bei Typ 2	3.2.3
mittlere Verweilzeit am Knoten i	${\bar{V}}_{i} = \frac{1}{μ_{i}} \cdot \frac{1}{1 - U_{i}^{m}}$ $bar V_i=1/mu_i * 1/(1-U_i^m)$ für Typ 1 und 2 ${\bar{V}}_{i} = \frac{1}{μ_{i}}$ $bar V_i=1/mu_i$ für Typ 3
mittlere Anzahl Knoten im Netz	$\bar{N} = X \cdot \bar{V}$ $bar N=X * bar V$	3.2.3
reine Bedienzeit ohne Wartezeit im Netz	$\bar{S} = e_{i} \cdot {\bar{S}}_{1} + e_{2} \cdot {\bar{S}}_{2} + ...$ $bar S = e_i * bar S_1 + e_2 * bar S_2 + ...$	3.2.4
Gesamtanforderung, "demand"	${\bar{D}}_{i} = e_{i} \cdot {\bar{S}}_{i}$ $bar D_i = e_i * bar S_i$	3.2.5

falls nur D und X bekannt (Quelle: 3.2.5)

	M/M/1	M/M/k	Typ3, "IS"
Auslastung $U_{i}$ $U_i$ von Knoten i	$U_{i} = X \cdot {\bar{D}}_{i} = \frac{λ_{i}}{μ_{i}} \cdot X = e_{i} \cdot {\bar{S}}_{i} \cdot X$ $U_i=X * bar D_i=lambda_i/mu_i * X=e_i * bar S_i * X$	$U_{i} = \frac{X \cdot {\bar{D}}_{i}}{k} = \frac{λ_{i}}{k \cdot μ_{i}}$ $U_i=(X * bar D_i)/k=lambda_i / (k * mu_i)$	$U_{i} = 1 - \exp (- X \cdot {\bar{D}}_{i})$ $U_i=1 - exp(-X * bar D_i)$
Akkumulierte Verzeilzeiten in i	${\bar{V}}_{i} \cdot e_{i} = \frac{{\bar{D}}_{i}}{1 - U_{i}} = \frac{{\bar{D}}_{i}}{1 - X \cdot {\bar{D}}_{i}}$ $bar V_i * e_i=bar D_i/(1-U_i)=bar D_i/(1-X * bar D_i)$	${\bar{V}}_{i} \cdot e_{i} = \frac{{\bar{D}}_{i}}{1 - U_{i}^{k}} = \frac{1}{μ_{i}} \cdot \frac{e_{i}}{1 - ρ^{k}} = \frac{{\bar{D}}_{i}}{1 - ρ^{k}}$ $bar V_i * e_i=bar D_i/(1 - U_i^k)=1/mu_i * e_i/(1-rho^k)=bar D_i/(1-rho^k)$ näherungsweise	${\bar{V}}_{i} \cdot e_{i} = {\bar{D}}_{i}$ $bar V_i * e_i=bar D_i$
Mittlere Anzahl Aufträge in Knoten i	${\bar{N}}_{i} = \frac{X \cdot {\bar{D}}_{i}}{1 - X \cdot {\bar{D}}_{i}}$ $bar N_i=(X * bar D_i)/(1 - X * bar D_i)$	${\bar{N}}_{i} = \frac{k \cdot U_{i}}{1 - U_{i}^{k}} = \frac{k \cdot ρ_{i}}{1 - ρ_{i}^{k}}$ $bar N_i=(k * U_i)/(1-U_i^k)=(k * rho_i)/(1-rho_i^k)$ näherungsweise	${\bar{N}}_{i} = X \cdot {\bar{D}}_{i}$ $bar N_i=X * bar D_i$

Tuning an der am höchsten ausgelasteten Komponente (größtes U) am effektivsten (solange diese das größte U hat)

Wartenetze geschlossen		Quelle
Denkzeit	$Z$ $Z$	3.2.7
Aufträge	$N \cdot (\bar{V} + \bar{Z})$ $N*(bar V + bar Z)$	3.2.7
mittlere Verweilzeit/Antwortszeit/Reparaturzeit	$R = \bar{V} = \frac{N}{X} - \bar{Z}$ $R=bar V = N/X - bar Z$	3.2.7
Durchsatz	$X = \frac{N}{\bar{V} + \bar{Z}}$ $X=N/(bar V+ bar Z)$	3.2.7
mittlere Zahl aktive Aufträge	$N_{a} = X \cdot \bar{V}$ $N_a=X * bar V$ wegen $\frac{N_{a}}{N} = \frac{\bar{V}}{\bar{V} + Z}$ $N_a / N = bar V/(bar V+Z)$	3.2.7
mittlere Zahl inaktive Aufträge	$N_{i a} = X \cdot \bar{Z}$ $N_(ia) =X * bar Z$	3.2.7

Berechnung der Ankunftsrate wie in offenen Systemen funktioniert hier nicht

Mittelwertanalyse		Quelle
relative Besuchshäufigkeit	$r_{k} = \sum_{j = 1}^{K} p_{j k} \cdot r_{j}$ $r_k=sum_(j=1)^K p_(jk) * r_j$ $r_{k 0} = 1$ $r_(k0)=1$	3.2.9
Durchsatz am Knoten N	$X (N) = \frac{N}{\sum_{k = 1}^{K} {\bar{V}}_{k} (N) \cdot r_{k}}$ $X(N)=N/(sum_(k=1)^K bar V_k(N) * r_k$	3.2.9
Verweilzeit bei N Aufträgen im Knoten K	$V_{k} (N) = S_{k}$ $V_k(N)=S_k$ , bei Verzögerungsknoten $V_{k} (N) = {\bar{S}}_{k} + {\bar{S}}_{k} \cdot {\bar{N}}_{k} (N - 1)$ $V_k(N)=bar S_k + bar S_k * bar N_k(N-1)$ , bei Warteknoten ${\bar{N}}_{k} = 0$ $barN_k=0$	3.2.9
mittlere Anzahl Aufträge in k bei N Aufträgen	${\bar{N}}_{k} (N) = X (N) \cdot r_{k} \cdot {\bar{V}}_{k} (N)$ $bar N_k(N)=X(N) * r_k * bar V_k(N)$	3.2.9