3-2-1

Gegeben sei folgendes Wartenetz, das die Bearbeitung von DV-Aufträgen durch zwei Server modelliert. Alle wünschenswerten Unabhängigkeitsvoraussetzungen sind erfüllt, und es kommen ausschließlich Exponentialverteilungen vor:

a)

Berechnen Sie bei gegebener Ankunftsrate $λ_{0, 1} = \frac{16}{s}$ $lambda_(0,1) =16/s$ die Ankunftsraten $λ_{1}$ $lambda_1$ und $λ_{2}$ $lambda_2$ an den Knoten 1 und 2 aus den Übergangswahrscheinlichkeiten.

$λ_{1} = \frac{λ_{0, 1}}{0.8} = \frac{20}{s}$ $lambda_1 = lambda_(0,1)/0.8 = 20/s$

$λ_{2} = \frac{16}{s}$ $lambda_2 = 16/s$

b)

Wie groß sind die Besuchshäufigkeiten pro Auftrag?

$e_{i} = \frac{λ_{i}}{X}$ $e_i = lambda_i / X$

$e_{1} = \frac{λ_{1}}{X} = 1, 25$ $e_1 = lambda_1 / X = 1,25$

$e_{2} = \frac{λ_{2}}{X} = 1$ $e_2 = lambda_2 / X = 1$

c)

Seien $μ_{1} = \frac{30}{s}$ $mu_1 = 30 / s$ und $μ_{2} = \frac{20}{s}$ $mu_2 = 20/s$ die Bedienraten der beiden Knoten. Entscheiden Sie an Hand der Auslastungen, ob das Wartenetz die Last bewältigen kann.

$U_{1} = \frac{λ_{1}}{μ_{1}} = \frac{2}{3}$ $U_1=lambda_1/mu_1=2/3$

$U_{2} = \frac{λ_{2}}{μ_{2}} = 0.8$ $U_2=lambda_2/mu_2=0.8$

Last kann bewältigt werden, da alle $U < 1$ $U < 1$

d)

Berechnen Sie die gesamte mittlere Verweilzeit V eines Auftrags im Netz!

$\bar{V} = {\bar{V}}_{1} \cdot e_{1} + {\bar{V}}_{2} \cdot e_{2} = {\bar{S}}_{1} \cdot \frac{1}{1 - U_{1}} + {\bar{S}}_{2} \cdot \frac{1}{1 - U_{2}} = 0.375 s$ $bar V = bar V_1 * e_1 + bar V_2 * e_2 = bar S_1 * 1/(1-U_1) + bar S_2 * 1/(1-U_2) = 0.375s$

e)

An welchem Knoten schlagen Sie Tuning-Maßnahmen vor? Begründung!

Tuning nur an $U_{2}$ $U_2$ sinnvoll, da dort die höchste Auslastung ist. Begründung siehe Skript 3-15

f)

Es seien nun die Übergangswahrscheinlichkeiten nicht bekannt, dafür aber die sogenannten Übergangsraten $λ_{i, j}$ $lambda_(i,j)$ , die die Zahl der Aufträge angeben, die pro Zeiteinheit von Knoten i zu Knoten j überwechseln: $λ_{1, 1} = 4$ $lambda_(1,1)=4$ , $λ_{1, 2} = 16$ $lambda_(1,2)=16$ , $λ_{2, 1} = λ_{2, 2} = 0$ $lambda_(2,1)=lambda_(2,2)=0$ , $λ_{2, 0} = λ_{0, 1}$ $lambda_(2,0)=lambda_(0,1)$ ( $λ_{2, 0}$ $lambda_(2,0)$ : „Austrittsrate“). Sie haben den Vorteil, dass sie durch die üblichen Meßprogramme leicht ermittelt werden können (UNIX: „sar“, Linux: „proc“-Dateisystem). Wie können aus den Übergangsraten die Übergangswahrscheinlichkeiten ermittelt werden?

$λ_{1} = λ_{0, 1} + λ_{1, 1} = \frac{20}{s}$ $lambda_1 = lambda_(0,1) + lambda_(1,1)=20/s$

$λ_{2} = λ_{1, 2}$ $lambda_2 = lambda_(1,2)$

$λ_{2} = λ_{1} \cdot (1 - p_{1, 1})$ $lambda_2 = lambda_1 * (1 - p_(1,1))$

$\frac{λ_{2}}{λ_{1}} = 1 - p_{1, 1} \Rightarrow p_{1, 1} = 1 - \frac{λ_{2}}{λ_{1}} = 1 - \frac{16}{20} = 0.2$ $lambda_2/lambda_1 = 1-p_(1,1) => p_(1,1) = 1- lambda_2/lambda_1 = 1 - 16/20 = 0.2$

$p_{1, 2} = 1 - p_{1, 1} = 0.8$ $p_(1,2) = 1 - p_(1,1)= 0.8$