3.1.9

In einem M/M/2-System sei die Ankunftsrate λ und die Bedienrate jedes Servers μ.

a) Erstellen Sie ein Übergangsdiagramm, indem Sie das von Satz 3.1.2 (M/M/1-Wartesystem) der Vorlesung modifizieren.

b) Stellen Sie die notwendigen Gleichungen zur Berechnung der Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten auf!

`rho=lambda/(k*mu)=lambda/(2mu)` hier `M//M//2 =>k = 2`

`pi_0 * lambda = pi_1 * mu => pi_1 = pi_0 * lambda/mu`

`pi_1 * lambda = pi_2 * 2 * mu => pi_2 = pi_1 * lambda/(2mu)= pi_0 * lambda / mu * lambda / (2mu)`

`pi_2 * lambda = pi_3 * 2 * mu => pi_3 = pi_2 * lambda/(2mu) = pi_0 * lambda/mu*rho^2 = pi_0 * 2rho * rho^2`

`pi_i=pi_0*2rho * rho^(i-1) = pi_0 * 2rho^i`

c) Bestimmen Sie die Gleichgewichtslösung! (Hinweis: Verwenden Sie zur Abkürzung `rho=lambda/(2*mu)` !) Unter welcher Bedingung existiert eine solche?

`1 = pi_0 + pi_1 + pi_2 + ...`

`1 = pi_0 + pi_0* 2rho + pi_0 *2rho^2 + pi_0 *2rho^3 + ...`

`1 = pi_0 * (1+2rho + 2 rho^2 + 2 rho^3 + ... + 2 rho^n)`

`1 = pi_0 * (-1 + 2 + 2rho + 2 rho^2 + 2 rho^3 + ... + 2 rho^n)`

`1 = pi_0 * (-1 + 2*(1 + rho + rho^2 + rho^3 + ... + rho^n)) =>` "geometrische Reihe"

`1 = pi_0 * (-1 + 2 1/(1-p)) = pi_0 (1 + p)/(1 - p)`

`=> pi_0 = (1 - p)/(1 + p)`

d) Bestimmen Sie die mittlere Anzahl von Aufträgen im Gesamtsystem! (Ergebnis: `bar N = (2*rho)/(1-rho^2)`)

$bar N = sum_(i=1)^oo i * pi_i = sum_(i=1)^oo i ((2rho^i(1 - rho))/(1+rho))=((2(1-p)/(1+rho))sum_(i=1)^oo irho^i$

weiter aufloesen!!!

e) Bestimmen Sie die mittlere Verweilzeit im Gesamtsystem!

`bar V = bar N/lambda = (2 * lambda)/(2 * lambda * mu) * (1/(1-rho^2))=bar S rho^2/(1-rho^2)`

f) Bestimmen Sie die mittlere Wartezeit!

`bar W = bar N - bar S= bar S (1/(1-rho^2) - 1)=bar S((1-1+rho^2)/(1-rho^2)) = bar S rho^2/(1+rho)`

g) Bestimmen Sie die mittlere Anzahl von Wartenden!

`bar N_W = lambda * bar W = lambda / mu * rho^2/(1-rho^2)`

h) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auftrag warten muss!

`w=P("mehr als 1 Auftrag wartet")=1-pi_0(1+2rho)=(1+rho-1-2rho+rho+2rho^2)/(1+rho)=(2rho^2)/(1+p)`

i) Bestimmen Sie die mittlere Anzahl von Aufträgen in Bearbeitung!

j) Wie kann sinnvoll eine Auslastung definiert werden? Welche Werte kann sie annehmen?

k) Verallgemeinern Sie a) auf den Fall von m gleichartigen Bedieneinheiten!