3.1.3

An einem Schalter kommen je Stunde 15 Personen an und 25 können je Stunde bedient werden (im Mittel). Unter „Markovschen“ Voraussetzungen bestimme man

a) die Ankunfts- und Bedienrate,

$λ = \frac{15}{h}; μ = \frac{25}{h}$ $lambda = 15/h; mu=25/h$

b) die „Auslastung“ des Schalterbeamten,

$U = \frac{λ}{μ} = \frac{\frac{15}{h}}{\frac{25}{h}} = \frac{3}{5} = 0.6$ $U=lambda/mu=(15/(h))/(25/(h))=3/5=0.6$

c) die mittlere Bedien- und Wartezeit, sowie die mittlere Zahl der wartenden Personen und der Personen insgesamt im System.

$\bar{S} = \frac{1}{μ} = \frac{1}{\frac{25}{h}} = 0.04 h = 2.4 min$ $bar S = 1/mu=1/(25/h)=0.04 h=2.4min$

$\bar{W} = \bar{S} \cdot \frac{U}{1 - U} = 2.4 min \cdot \frac{0.6}{0.4} = 3.6 min$ $bar W = bar S * U/(1-U)=2.4min*0.6/0.4=3.6min$

${\bar{N}}_{W} = λ \cdot \bar{W} = \frac{15}{h} \cdot 3.6 min = \frac{15}{60 min} \cdot 3.6 min = 0.9 min = 54 s$ $bar N_W=lambda * bar W=15/h * 3.6min=15/(60min)*3.6min=0.9min=54s$

$\bar{N} = \frac{U}{1 - U} = \frac{0.6}{0.4} = 1.5$ $bar N = U/(1-U)=0.6/0.4=1.5$

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind maximal 3 Personen vor dem Schalter?

$P (max. 3 warten) = π_{0} + π_{1} + π_{2} = π_{0} + π_{0} \cdot U + π_{0} \cdot U^{2} \cdot π_{0} \cdot U^{3} = π_{0} \cdot (1 + U + U^{2} + U^{3}) = 0.8704$ $P("max. 3 warten")=pi_0+pi_1+pi_2=pi_0+pi_0 * U+pi_0 * U^2 * pi_0 * U^3 = pi_0 * (1 + U + U^2 + U^3) = 0.8704$

(oder über geom. Reihe)