3.1.14

Telefonleitungen unter Markovschen Bedingungen: Gegeben seien drei Telefonleitungen. Die Gesprächsdauer beträgt im Durchschnitt 1 min. Solange alle drei Leitungen besetzt sind, wird jedes weitere Gespräch abgewiesen. $λ = \frac{3}{min}$ $lambda = 3/min$

Hinweis: Die Angabe von $λ$ $lambda$ fehlt in der Aufgabe vom SS 2016

a) Wie hoch ist die Verlustrate?

$μ = \frac{1}{min}; \bar{S} = 1 min; a = \frac{λ}{μ} = 3$ $mu=1/min; bar S = 1min; a=lambda/mu=3$

$Verlustwahrscheinlichkeit = π_{3} = B (3, a) = ... = \frac{9}{26}$ $"Verlustwahrscheinlichkeit" = pi_3 = B(3,a) = ... = 9/26$

$Verlustrate λ \cdot B (3, 3) = \frac{3}{min} \cdot \frac{9}{26} \approx \frac{1.038}{min}$ $"Verlustrate" lambda * B(3,3)=3/min * 9/26 approx 1.038/"min"$

Formel von 3.1.10 verwenden

b) Wie viele Leitungen sind im Mittel belegt?

${\bar{B}}_{s, a} = a (1 - B (s, a)) = a (1 - B (3, 3)) = 3 \cdot (1 - \frac{9}{26}) = 1, 962$ $bar B_(s,a)=a(1-B(s,a))=a(1-B(3,3))=3*(1-9/26)=1,962$

c) Wie groß wäre die Warteschlange bei einem M/M/1-System?

$U = \frac{λ}{μ} = 3 \Rightarrow U > 1$ $U=lambda/mu=3 => U > 1$ , also Warteschlange unendlich