3.1.2 M/G/1

a)

Zwischenankunftszeiten bei einer Magnetplatte seien exponential-verteilt. Die mittlere Zugriffsrate sei $λ = \frac{30}{s}$ $lambda = 30/s$ . Die Zugriffsdauer ist Erlang-2-verteilt mit dem Mittelwert $\bar{S} = 20 m s$ $bar S = 20 ms$ und der Varianz $V a r (S) = \frac{{\bar{S}}^{2}}{2}$ $Var(S) = bar S^2 / 2$ . berechnen Sie die mittlere Verweilzeit $\bar{V}$ $bar V$

$c^{2} = \frac{V a r (S)}{{\bar{S}}^{2}} = \frac{{\bar{S}}^{2}}{2} / {\bar{S}}^{2} = 0.5$ $c^2 = (Var(S))/bar S^2 = bar S^2/2 / bar S^2 = 0.5$

$μ = \frac{1}{20 m s} = \frac{0.05}{m s}$ $mu = 1/(20ms) = 0.05/(ms)$

$ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{\frac{0.03}{m s}}{\frac{0.05}{m s}} = 0.6$ $rho=lambda/mu=(0.03/(ms))/(0.05/(ms))=0.6$

$\bar{W} = \bar{S} \cdot \frac{U (1 + c^{2})}{2 (1 - U)} = 22.5 m s$ $bar W = bar S * (U(1+c^2))/(2(1-U))=22.5ms$

$\bar{V} = \bar{W} + \bar{S} = 42.5 m s$ $bar V = bar W + bar S = 42.5ms$

b)

Werkstücke kommen im Durchschnitt alle 120 s an einer Maschine an (exponentialverteilte Zwischenankunftszeiten!). Die Bearbeitungszeit dauert jeweils exakt 1 min.

$\Rightarrow$ $=>$ M/D/1 System

c)

Wie viele warten durchschnittlich?

${\bar{N}}_{W} = \frac{1 + c^{2}}{2} \cdot \frac{ρ^{2}}{1 - ρ} = 0.25$ $bar N_W = (1+c^2)/2 * rho^2/(1-rho) = 0.25$

d)

Wie hoch ist die Verweilzeit durchschnittlich?

$\bar{V} = \bar{S} (1 + \frac{1 + c^{2}}{2} \cdot \frac{ρ^{2}}{1 - ρ}) = 1, 5 min$ $bar V = bar S (1 + (1+c^2)/2 * rho^2/(1-rho)) = 1,5min$