3.1.10

Gegeben sei ein M/M/1-System S1 mit der Ankunftsrate λ und der Bedienrate 2μ sowie ein M/M/2-System S2 mit der Ankunftsrate λ und der Bedienrate μ jedes einzelnen Servers.

Berechnen Sie für jedes System:

a) die Auslastungen der einzelnen Server,

$U_{2} = \frac{\frac{λ}{2}}{μ} = \frac{λ}{2 μ}$ $U_2=(lambda/2)/mu=lambda/(2mu)$

$U_{1} = \frac{λ}{2 μ} = \frac{a}{2}$ $U_1 = lambda/(2mu)=a/2$

$U_{1} = U_{2}$ $U_1 = U_2$

b) die Wahrscheinlichkeit, dass ein neu hinzukommender Auftrag warten muss,

$w_{1} = P (Auftrag in 1 muss warten) = 1 - π_{0} = U_{1}$ $w_1=P("Auftrag in 1 muss warten") = 1 - pi_0 = U_1$

$w_{2} = P (Auftrag in 2 muss warten) = 1 - π_{0} - π_{0} = 1 - (\frac{1 - ρ}{1 + ρ} + \frac{2 ρ - 2 ρ^{2}}{1 + ρ}) = \frac{2 ρ^{2}}{1 + ρ} = \frac{a^{2}}{2 + a} \Rightarrow ρ = \frac{λ}{2 μ}$ $w_2=P("Auftrag in 2 muss warten") = 1 - pi_0 - pi_0 = 1 - ((1-rho)/(1+rho) + (2rho-2rho^2)/(1+rho))=(2rho^2)/(1+rho) = a^2/(2+a) => rho=lambda/(2mu)$

$w_{2} < w_{1}$ $w_2 < w_1$

$\frac{a}{2 + a} < \frac{a}{2}$ $a/(2+a) < a/2$

$\Rightarrow a < 2$ $=> a < 2$

c) die mittleren Wartezeiten,

$W_{1} = \bar{S} \cdot \frac{U}{1 - U} = \bar{S} \cdot \frac{\frac{λ}{2 μ}}{1 - \frac{λ}{2 μ}} = \frac{a}{2 μ \cdot \frac{a}{2 - a}}$ $W_1 = bar S * U/(1-U) = bar S * (lambda/(2mu))/(1 - lambda/(2mu))=a/(2mu * a/(2-a))$

$W_{2} = \bar{S} \cdot \frac{ρ^{2}}{1 - ρ^{k}} = \bar{S} \cdot \frac{ρ^{2}}{1 - ρ^{2}} = \bar{S} \cdot \frac{{(\frac{λ}{2 μ})}^{2}}{1 - {(\frac{λ}{2 μ})}^{2}} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{a^{2}}{4 - a^{2}}$ $W_2 = bar S * rho^2/(1-rho^k)= bar S * rho^2/(1-rho^2) = bar S * ((lambda/(2mu))^2)/(1-(lambda/(2mu))^2)=1/mu * a^2/(4-a^2)$

${\bar{W}}_{2} < {\bar{W}}_{1}$ $bar W_2 < bar W_1$

d) die mittleren Bedienzeiten und

${\bar{S}}_{1} = \frac{1}{2 μ}$ $bar S_1 = 1/(2mu)$

${\bar{S}}_{2} = \frac{1}{μ}$ $bar S_2 = 1/mu$

e) die mittleren Verweilzeiten!

${\bar{V}}_{1} = {\bar{S}}_{1} \cdot \frac{1}{1 - U} = \frac{1}{2 μ} \cdot \frac{1}{1 - \frac{a}{2}} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{1}{2 - a}$ $bar V_1 = bar S_1 * 1/(1-U) = 1/(2mu) * 1/(1-a/2)=1/mu * 1/(2-a)$

${\bar{V}}_{2} = {\bar{S}}_{2} \cdot \frac{1}{1 - ρ^{k}} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{1}{1 - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{4}{4 - a^{2}}$ $bar V_2 = bar S_2 * 1/(1-rho^k) = 1/mu * 1/(1-a^2/4)=1/mu * 4/(4-a^2)$

f) In welcher Hinsicht hat S1, in welcher S2 Vorteile vor dem anderen System?

${\bar{W}}_{2} < {\bar{W}}_{1}$ $bar W_2 < bar W_1$

${\bar{S}}_{1} < {\bar{S}}_{2}$ $bar S_1 < bar S_2$

${\bar{V}}_{1} < {\bar{V}}_{2}$ $bar V_1 < bar V_2$