3.1.1

Eine Magnetplatte habe eine mittlere Bedienzeit $\bar{S} = 10 m s$ $bar S= 10 ms$ . Beantworten Sie unter Markov’schen Bedingungen folgende Fragen:

a) Wie groß darf die Ankunftsrate λ maximal sein, damit die mittlere Verweilzeit V höchstens 15 ms beträgt?

Variante 1: auflösen nach $λ$ $lambda$

$\bar{V} = \bar{S} \frac{1}{1 - U} = \frac{1}{μ} \cdot \frac{1}{1 - \frac{λ}{μ}}$ $bar V = bar S 1/(1-U)= 1/mu * 1/(1 - lambda/mu)$

Variante 2: U ausrechnen, dann Little

$\bar{V} = \bar{S} \frac{1}{1 - U} \Rightarrow U = \frac{1}{3}$ $bar V = bar S 1/(1-U) => U = 1/3$

$\bar{N} = \frac{U}{1 - U} = \frac{1}{2}$ $bar N=U/(1-U)=1/2$

$λ = \frac{\bar{N}}{\bar{V}} = \frac{0.5}{15 m s} = \frac{0.03}{ms}$ $lambda = bar N/ bar V=0.5/(15ms)=0.03/"ms"$

$\Rightarrow λ \leq \frac{0.03}{ms}$ $=> lambda le 0.03/"ms"$

b) Wie viele Aufträge warten in a) durchschnittlich?

$U^{2} \cdot \frac{1}{1 - U} = {\bar{N}}_{W} = \frac{1}{6}$ $U^2 * 1/(1-U)=barN_W=1/6$

c) Wie groß ist in a) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auftrag warten muss?

$w = P (Auftrag muss warten) = U = \frac{1}{3}$ $w=P("Auftrag muss warten")=U=1/3$

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist in a) die Verweilzeit höchstens 15 ms?

$P (V \leq x) = 1 - e^{- \frac{x}{\bar{V}}} = 1 - e^{/ \frac{15}{15}} = 1 - e^{- 1} \approx 0.6321$ $P(V le x)=1-e^(-x/bar V)=1-e^(/15/15)=1-e^-1 approx 0.6321$

e) Welche Verweilzeit wird bei einer Auslastung $U = \frac{1}{3}$ $U=1/3$ in 90% aller Fälle nicht überschritten?

$P (V \leq X_{0.9}) = 0.9$ $P (V ≤ X_0.9 ) = 0.9$