1.1.3

Eine Rechnerkomponente (K) sei zu den Zeitpunkten $t \in N$ $t in N$ aktiv (=1) oder inaktiv (=0). Zur Zeit $t = 0$ $t = 0$ sei K inaktiv. Falls K für $t = n$ $t = n$ aktiv ist, sei K zur Zeit $t = n + 1$ $t = n+1$ mit Wahrscheinlichkeit $0, 8$ $0,8$ ebenfalls aktiv, wenn K inaktiv ist, sei es beim nächsten Takt mit Wahrscheinlichkeit $0, 6$ $0,6$ aktiv. Es sei $X_{n}$ $X_n$ die hierdurch bestimmte Markov-Kette.

a) Man gebe die Übergangsmatrix und den Übergangsgraphen an.

$P = [\begin{matrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.6 & 0.4 \end{matrix}]$ $P=[[0.8,0.2],[0.6,0.4]]$

b) Bestimmen Sie mit Hilfe von Scilab den Vektor ${\vec{p}}_{n} = (P (X_{n} = 0), P (X_{n} = 1))$ $vec p_n = (P(X_n = 0 ), P( X_n = 1 ))$ für $n = 1, 2, 4, 8, 16$ $n = 1, 2, 4, 8, 16$ und visualisieren Sie das Ergebnis in einem geeigneten Diagramm.

$p 1 = p 0 \cdot P^{1} = (0.76, 0.24)$ $p1=p0 * P^1=(0.76, 0.24)$

$p 2 = p 0 \cdot P^{2} = (0.752, 0.248)$ $p2=p0 * P^2=(0.752, 0.248)$

$p 4 = p 0 \cdot P^{4} = (0.75008, 0.24992)$ $p4=p0 * P^4=(0.75008, 0.24992)$

$p 8 = p 0 \cdot P^{8} = (0.750001, 0.2499999)$ $p8=p0 * P^8=(0.750001, 0.2499999)$

$p 16 = p 0 \cdot P^{16} = (0.75, 0.25)$ $p16=p0 * P^16=(0.75,0.25)$

c) Ist die Markov-Kette irreduzibel? Ist sie aperiodisch?